Question

18．已知點P在曲線y=x²+1上，若曲線y=x²+1在點P處的切線與曲線y=-2x²-1相切，求點P的坐標．

Answer 1

分析 先設P（x₀，y₀），根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=x₀處的導數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出方程，根據(jù)此直線與曲線y=-2x²-1相切，轉化成方程2x²+2x₀x+2-x₀²=0只有一解，然后利用判別式為0，進行求解即可．

解答 解：設P（x₀，y₀），y=x²+1的導數(shù)為y′=2x，
由題意知曲線y=x²+1在P點的切線斜率為k=2x₀，
則切線方程為y=2x₀x+1-x₀²，
而此直線與曲線y=-2x²-1相切，
∴切線與曲線只有一個交點，
即方程2x²+2x₀x+2-x₀²=0的判別式△=4x₀²-2×4×（2-x₀²）=0．
解得x₀=±$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，y₀=$\frac{7}{3}$．
∴P點的坐標為（$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，$\frac{7}{3}$）或（-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，$\frac{7}{3}$）．

點評 本題考查利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，以及直線與二次函數(shù)相切的條件，屬于中檔題．