Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F（1，0），且經(jīng)過點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{5}}{4}$）
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l與橢圓C相切，過F作FQ⊥l，垂足為Q，求證：|OQ|為定值（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

分析 （1）由短軸和準(zhǔn)線方程求出b和a的值，據(jù)焦點(diǎn)在x軸上寫出橢圓的方程．
（2）分切點(diǎn)為橢圓長軸兩個(gè)頂點(diǎn)和不是橢圓長軸兩個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)切點(diǎn)不過橢圓長軸兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)出切線方程y=kx+m，聯(lián)立切線方程和橢圓方程，由判別式等于0得到k與m的關(guān)系，再求出FQ所在直線方程，聯(lián)立兩直線方程求得Q的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式可得|OQ|為定值2．

解答 （1）解：由題意知，$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{1}{4{a}^{2}}+\frac{45}{16^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=3，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）證明：當(dāng)直線l過橢圓長軸兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，Q與頂點(diǎn)重合，此時(shí)|OQ|=2；
當(dāng)直線l不過橢圓長軸兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)切線方程為y=kx+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
由△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，得m²=4k²+3．
∵F（1，0），且FQ⊥l，
∴FQ所在直線方程為y=$-\frac{1}{k}（x-1）$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y=-\frac{1}{k}（x-1）}\end{array}\right.$，解得Q（$\frac{1-km}{1+{k}^{2}}，\frac{k+m}{1+{k}^{2}}$），
∴|OQ|=$\sqrt{（\frac{1-km}{1+{k}^{2}}）^{2}+（\frac{k+m}{1+{k}^{2}}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1-2km+{k}^{2}{m}^{2}+{k}^{2}+2km+{m}^{2}}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）（1+{m}^{2}）}{（1+{k}^{2}）^{2}}}=\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+4}{1+{k}^{2}}}=2$．
故|OQ|為定值2．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程、直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．