Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，設(shè)數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為G_n，求證：G_n$＜\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$，n∈N^*．利用a₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得出；
（2）b_n=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，利用“裂項(xiàng)求和”、“放縮法”即可得出．

解答 （1）解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$，n∈N^*．
∴a₁=S₁=$\frac{3-1}{2}$=1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$-$\frac{3（n-1）^{2}-（n-1）}{2}$=3n-2，
當(dāng)n=1時(shí)上式也成立，
∴a_n=3n-2．
（2）證明：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，
∴設(shè)數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為G_n=$\frac{1}{3}[（1-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$
=$\frac{1}{3}$$（1-\frac{1}{3n+1}）$＜$\frac{1}{3}$，
∴G_n$＜\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”、“放縮法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．