Question

設(shè)正數(shù)A、B、C的常用對(duì)數(shù)分別是a、b、c，且a+b+c=0，求證：A 

1

b

+

1

c

•B 

1

c

+

1

a

•C 

1

a

+

1

b

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題設(shè)推導(dǎo)出lgA=a，lgB=b，lgC=c，a+b=-c，a+c=-b，b+c=-a，由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則推導(dǎo)出lg（A 

1

b

+

1

c

•B 

1

c

+

1

a

•C 

1

a

+

1

b

）=-3．由此能夠證明A 

1

b

+

1

c

•B 

1

c

+

1

a

•C 

1

a

+

1

b

=

1

1000

．

解答： 解：∵正數(shù)A、B、C的常用對(duì)數(shù)分別是a、b、c，且a+b+c=0，
∴l(xiāng)gA=a，lgB=b，lgC=c，
a+b=-c，a+c=-b，b+c=-a，
∵lg（A 

1

b

+

1

c

•B 

1

c

+

1

a

•C 

1

a

+

1

b

）
=（

1

b

+

1

c

）lgA+（

1

c

+

1

a

）lgB+（

1

a

+

1

b

）lgC
=（

1

b

+

1

c

）a+（

1

c

+

1

a

）b+（

1

a

+

1

b

）c
=

a

b

+

a

c

+

b

c

+

b

a

+

c

a

+

c

b

=

b+c

a

+

a+c

b

+

a+b

c

=

-a

a

+

-b

b

+

-c

c

=（-1）+（-1）+（-1）
=-3．
∴A 

1

b

+

1

c

•B 

1

c

+

1

a

•C 

1

a

+

1

b

=10^-3=

1

1000

．
故答案為：

1

1000

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要熟練掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．