Question

20．若（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$）ⁿ展開式中二項式系數之和是32，常數項為15，則實數a=-3．

Answer 1

分析 根據題意，由二項式系數的性質可得2ⁿ=32，解可得n=5，進而可得則（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁵展開式的通項，令x的指數為0，可得r的值為1，即（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁵展開式中的常數項為T₂，求出T₂，結合題意有-a•C₅¹=15，解可得答案．

解答 解：根據題意，（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$）ⁿ展開式中二項式系數之和是32，有2ⁿ=32，則n=5，
則（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁵展開式的通項為T_r+1=C₅^r•（$\sqrt{x}$）^5-r•（-$\frac{a}{{x}^{2}}$）^r=（-1）^r•a^r•C₅^r•${x}^{\frac{5-5r}{2}}$，
令$\frac{5-5r}{2}$=0，可得r=1，
則（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁵展開式中的常數項為T₂=-a•C₅¹，
則有-a•C₅¹=15，即a=-3，
故答案為：-3．

點評 本題考查二項式定理的應用，解題的關鍵是由二項式系數的性質求出n，并得到該二項式的通項．