Question

3．如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA=SB，底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，點E、F分別是AB、SD的中點．
（1）證明：平面SAB⊥平面SEC；
（2）若BC=2，SE=3，平面SAB⊥底面ABCD，求二面角S-EC-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）證明AB⊥平面SEC，利用平面與平面垂直的判定定理，證明平面SAB⊥平面SEC；
（2）證明SE⊥底面ABCD，建立以E為坐標原點，EB，EC，ES分別為x，y，z軸的空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可．

解答 證明：（1）∵SA=SB，點E是AB的中點，
∴SE⊥AB，
∵底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，點E是AB的中點，
∴AB⊥CE，
∵SE∩CE=E，
∴AB⊥平面SEC，
∵AB?平面SAB，
∴平面SAB⊥平面SEC；
解：（2）∵平面SAB⊥底面ABCD，平面SAB∩底面ABCD=AB，SE⊥AB，
∴SE⊥底面ABCD，
建立以E為坐標原點，EB，EC，ES分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：
∵SE=3，F(xiàn)是SD的中點，
∵BC=2，SE=3，
∴BE=1，EC=$\sqrt{3}$，
則B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），S（0，0，3），A（-1，0，0），
設(shè)D（s，t，0）則$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{BA}$，即（s，t-$\sqrt{3}$，0）=（-2，0，0），
則s=-2，t=$\sqrt{3}$，即D（2，$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
則平面SEC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面ECF的法向量，
則$\overrightarrow{EC}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{EF}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y=0}\\{x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{x+\frac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，
令z=2，則y=0，x=-3，即$\overrightarrow{m}$=（-3，0，2），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-3}{1×\sqrt{9+4}}=\frac{-3}{\sqrt{13}}$=-$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
∵二面角S-EC-F是銳二面角，
∴二面角S-EC-F的余弦值是$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

點評 本題主要考查空間面面垂直的判斷以及二面角的求解，建立坐標系，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查學生的運算和推理能力．