Question

12．已知拋物線y²=8x，過點P（2，0）作傾斜角為α=45°的直線l，直線l與拋物線交于A、B兩點．
（1）求直線l的參數(shù)方程；
（2）求$\frac{1}{{|{AP}|}}$+$\frac{1}{{|{BP}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用直線的參數(shù)方程求解即可．
（2）利用直線與拋物線聯(lián)立，通過韋達定理求解所求的結(jié)果即可．

解答 解：（1）∵α=45°，∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcos45°}\\{y=tsin45°}\end{array}\right.$，即為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；
（2）將直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入拋物線方程，可得${t^2}-8\sqrt{2}t-32=0$，
即有${t_1}+{t_2}=8\sqrt{2}$，t₁t₂=-32
則$\frac{1}{{|{AP}|}}$+$\frac{1}{{|{BP}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$
=$\frac{|{t}_{1}|+|{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{{\sqrt{{{（8\sqrt{2}）}^2}-4×（-32）}}}{{|{-32}|}}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查直線的參數(shù)方程以及直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力．