Question

20．2015年第7屆女足世界杯在加拿大埃德蒙頓聯(lián)邦體育場(chǎng)打響，某連鎖分店銷(xiāo)售某種紀(jì)念品，每件紀(jì)念品的成本為4元，并且每件紀(jì)念品需向總店交3元的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件紀(jì)念品的售價(jià)為x元（7≤x≤9）時(shí)，一年的銷(xiāo)售量為（x-10）²萬(wàn)件．
（Ⅰ）求該連鎖分店一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與每件紀(jì)念品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式L（x）；
（Ⅱ）當(dāng)每件紀(jì)念品的售價(jià)為多少元時(shí)，該連鎖分店一年的利潤(rùn)L最大，并求出L的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意求出函數(shù)的表達(dá)式即可；
（Ⅱ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）該連鎖分店一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：
L（x）=（x-7）（x-10）²，x∈[7，9]，
（Ⅱ）L′（x）=（x-10）²+2（x-7）（x-10）=3（x-10）（x-8），
令L′（x）=0，得x=8或x=10（舍去），
∵x∈[7，8]，L′（x）＞0，x∈[8，9]，L′（x）＜0，
∴L（x）在x∈[7，8]上單調(diào)遞增，在x∈[8，9]上單調(diào)遞減，
∴L（x）_max=L（8）=4；
答：每件紀(jì)念品的售價(jià)為8元，該連鎖分店一年的利潤(rùn)L最大，最大值為4萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的解析式問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，是一道中檔題．