Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，左右焦點分別為F1 ， F2 ， 且|F1F2|=2，點（1， ）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且△AF2B的面積為 ，求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓的方程為 ，由題意可得：

橢圓C兩焦點坐標分別為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0）．

∴ ．

∴a=2，又c=1，b2=4﹣1=3，

故橢圓的方程為 ．

（2）解：當直線l⊥x軸，計算得到：

， ，不符合題意．

當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為：y=k（x+1），

由 ，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0

顯然△＞0成立，設A（x1，y1），B（x2，y2），

則 ，

又

即 ，

又圓F2的半徑 ，

所以 ，

化簡，得17k4+k2﹣18=0，

即（k2﹣1）（17k2+18）=0，解得k=±1

所以， ，

故圓F2的方程為：（x﹣1）2+y2=2．

【解析】（1）先設出橢圓的方程，根據題設中的焦距求得c和焦點坐標，根據點（1， ）到兩焦點的距離求得a，進而根據b= 求得b，得到橢圓的方程．（2）先看當直線l⊥x軸，求得A，B點的坐標進而求得△AF2B的面積與題意不符故排除，進而可設直線l的方程為：y=k（x+1）與橢圓方程聯(lián)立消y，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），根據韋達定理可求得x1+x2和x1x2 ， 進而根據表示出|AB|的距離和圓的半徑，求得k，最后求得圓的半徑，得到圓的方程．
【考點精析】認真審題，首先需要了解圓的標準方程(圓的標準方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程)，還要掌握橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)的相關知識才是答題的關鍵．