Question

（2012•順義區(qū)二模）已知向量

m

=(2cos

x

2

，1)，

n

=(cos

x

2

，-1)，（x∈R），設函數(shù)f(x)=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）已知銳角△ABC的三個內角分別為A、B、C，若f(A)=

5

13

，f(B)=

3

5

，求f（C）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意利用兩個向量的數(shù)量積公式、二倍角公式，求得函數(shù)f（x）的解析式為cosx，再由余弦函數(shù)的值域可得函數(shù)f（x）的值域．
（Ⅱ）在銳角△ABC中，由 f(A)=

5

13

，f(B)=

3

5

，求得cosA和 cosB 的值，可得 sinA 和sinB 的值，再由f（C）=cosC=-cos（A+B），利用兩角和的余弦公式求得結果．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得函數(shù)f（x）=

m

•

n

=2cos2

x

2

-1=cosx，
再由余弦函數(shù)的值域可得函數(shù)f（x）的值域為[-1，1]．
（Ⅱ）在銳角△ABC中，f(A)=

5

13

，f(B)=

3

5

，∴cosA=

5

13

，cosB=

3

5

，
∴sinA=

12

13

，sinB=

4

5

，
∴f（C）=cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-

5

13

×

3

5

+

12

13

×

4

5

=

33

65

．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應用，同角三角函數(shù)的基本關系、誘導公式、二倍角公式、兩角和的余弦公式
的應用，屬于中檔題．