Question

5．已知復(fù)數(shù)z=-$\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$i，其共軛復(fù)數(shù)為$\overline z$，求
（1）復(fù)數(shù)$\frac{1}{z}$的模；
（2）${（{\overline z}）^2}$的值．

Answer 1

分析 （1）把復(fù)數(shù)z=-$\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$i代入$\frac{1}{z}$，化簡后由復(fù)數(shù)的模長公式可得；
（2）由題意可得$\overline{z}$=$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}i$，代入要求的式子化簡即可．

解答 解：（1）∵復(fù)數(shù)z=-$\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$i，
∴$\frac{1}{z}$=$\frac{1}{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}$=$\frac{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}{（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）（-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i）}$
=$\frac{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}{（-\frac{1}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{2}}$=$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}i$，
∴|z|=$\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=1；
（2）由題意可得$\overline{z}$=$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}i$，
∴${（{\overline z}）^2}$=（$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}i$）²=$\frac{1}{4}$-$\frac{3}{4}$+2×$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$i=$-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$．

點評 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，涉及共軛復(fù)數(shù)，屬基礎(chǔ)題．