Question

15．已知數(shù)列{a_n}、{b_n}、{c_n}的通項(xiàng)公式分別為：a_n=n，b_n=n（n+1），c_n=n（n+1）（n+2），數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項(xiàng)和分別為S₁（n），S₂（n），觀察下表：

n	1	2	3	4	5	6	7	8	…
an	1	2	3	4	5	6	7	8	…
S1（n）	1	3	6	10	15	21	28	36	…
bn	2	6	12	20	30	42	56	72	…

發(fā)現(xiàn)S₁（n）=$\frac{1}{2}$b_n，并可用下面方法證明：
因?yàn)閍_k=k=$\frac{1}{2}[k（k+1）-（k-1）k]$，k=1，2，…n，
所以S₁（n）=a₁+a₂+…a_n=1+2+…+n=$\frac{1}{2}{（1×2-0×1）+（2×3-1×2）…+[n（n+1）-（n-1）n]}$=$\frac{1}{2}n（n+1）=\frac{1}{2}_{n}$．
（1）指出S₂（n）與c_n的關(guān)系，并類比上面方法證明你的結(jié)論；
（2）求和T_n=1²+2²+…+n²．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意利用類比推理列出表格，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)猜想S₂（n）=$\frac{1}{3}$c_n，類比推理可得b_k=k（k+1）=$\frac{1}{3}$[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，利用裂項(xiàng)相消法求出
S₂（n），即可證明出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論利用分組求和法和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出T_n=1²+2²+…+n²．

解答 解：（1）由題意列出表格如下：

n	1	2	3	4	5	6	7	8	…
bn	2	6	12	20	30	42	56	72	…
S2（n）	2	8	20	40	70	112	168	240	…
cn	6	24	60	120	210	336	504	720	…

由表格中的數(shù)據(jù)猜想S₂（n）=$\frac{1}{3}$c_n，
∵b_n=n（n+1），c_n=n（n+1）（n+2），∴類比推理可得b_k=k（k+1）=$\frac{1}{3}$[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，
∴S₂（n）=$\frac{1}{3}${（1×2×3-0×1×2）+（2×3×4-1×2×3）+…+[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]}
=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）=$\frac{1}{3}$c_n；
（2）由（1）可得，b_n=n（n+1）=n²+n，
∴S₂（n）=1²+2²+…+n²+（1+2+…+n）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2），
∴T_n=1²+2²+…+n²=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）-$\frac{1}{2}n（1+n）$
=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查類比推理的應(yīng)用，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及分組求和法、裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用，題目新穎，考查較強(qiáng)的分析、解決問(wèn)題的能力．