Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2和3a_n+1=a_n，n=1，2，…，
（1）證明：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并寫出它的通項公式；
（2）記b_n=a_n+n，n=1，2，…，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的定義及其通項公式即可證明．
（2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵a₁=2和3a_n+1=a_n，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，首項為2，公比為$\frac{1}{3}$．
∴a_n=2×$（\frac{1}{3}）^{n-1}$．
（2）解：b_n=a_n+n=2×$（\frac{1}{3}）^{n-1}$+n，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=$\frac{2×（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$+$\frac{n（n+1）}{2}$=3-$\frac{1}{{3}^{n-1}}$+$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．