Question

如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為10海里的正方形海域．現(xiàn)有一架飛機(jī)在該海域失事，兩艘海事搜救船在A處同時(shí)出發(fā)，沿直線AP、AQ向前聯(lián)合搜索，且∠PAQ=

π

4

（其中點(diǎn)P、Q分別在邊BC、CD上），搜索區(qū)域?yàn)槠矫嫠倪呅蜛PCQ圍成的海平面．設(shè)∠PAB=θ，搜索區(qū)域的面積為S．
（1）試建立S與tanθ的關(guān)系式，并指出θ的取值范圍；
（2）求S的最大值，并求此時(shí)θ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：綜合題,解三角形

分析：（1）利用S=S_ABCD-S_△ABP-S_△ADQ，可得S與tanθ的關(guān)系式；
（2）令t=1+tanθ，t∈（1，2），利用基本不等式，可求S的最大值，并求此時(shí)θ的值．

解答： 解：（1）S=S_ABCD-S_△ABP-S_△ADQ…2分
=100-50tanθ-50tan(

π

4

-θ)…4分
=100-50(tanθ+

1-tanθ

1+tanθ

)，(0＜θ＜

π

4

)…6分
（2）令t=1+tanθ，t∈（1，2）…8分
S=100-50[

1+(t-1)2

t

]=100-50(t+

2

t

-2)=200-50(t+

2

t

)…10分
∵t+

2

t

≥2

t• 2 t

=2

2

，（當(dāng)且僅當(dāng)t=

2

t

時(shí)，即t=

2

∈(1，2)，等號(hào)成立）…12分
∴當(dāng)t=

2

時(shí)，搜索區(qū)域面積S的最大值為200-100

2

（平方海里）
此時(shí)，θ=arctan(

2

-1)…14分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形面積的計(jì)算，考查換元法，考查基本不等式的應(yīng)用，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．