Question

已知函數(shù)f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x+b，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上不單調(diào)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)解析式可知，當(dāng)a=-

1

2

時函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上嚴(yán)格單增，當(dāng)a≠-

1

2

時導(dǎo)函數(shù)有兩個零點，分別由兩個零點位于區(qū)間（-1，1）上求a的取值范圍．

解答： 解：由f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x+b，得
f′（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）=（x-a）[3x+（a+2）]
因為函數(shù)f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x+b（a，b∈R）在區(qū)間（-1，1）上不單調(diào)，
所以f（x）至少有一個極值點在區(qū)間（-1，1）內(nèi)，
a≠-

1

2

時，f（x）有兩個不相同的極值點x₁=a和x₂=-

a+2

3

．
①a=-

1

2

時，f（x）嚴(yán)格單調(diào)增加．
②若-1＜x₁＜1，得-1＜a＜1．
③若-1＜x₂＜1，即-1＜-

a+2

3

＜1，可得-5＜a＜1．
綜合①、②、③，
可得a的取值范圍是（-5，-

1

2

）∪（-

1

2

.1）．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系，考查了導(dǎo)函數(shù)的零點與原函數(shù)的極值點的關(guān)系，需要注意的是極值點處的導(dǎo)數(shù)等于0，但導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點，此題是中檔題．