Question

2．定義“函數(shù)y=f（x）是D上的a級(jí)類周期函數(shù)”如下：函數(shù)y=f（x），x∈D，對(duì)于給定的非零常數(shù)a，總存在非零常數(shù)T，使得定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x都有af（x）=f（x+T）恒成立，此時(shí)T為f（x）的周期．若y=f（x）是[1，+∞）上的a級(jí)類周期函數(shù)，且T=1，當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f（x）=2^x（2x+1），且y=f（x）是[1，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． $[{\frac{5}{6}，+∞}）$
• B． [2，+∞）
• C． $[{\frac{10}{3}，+∞}）$
• D． [10，+∞）

Answer 1

分析 分類討論f得出f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
得出aⁿ•2^n-n（2n-2n+3）≥a^n-1•2^n-（n-1）（2n-2n+5），
解得a的取值范圍．

解答 解：∵x∈[1，2）時(shí)，f（x）=2^x（2x+1），
∴當(dāng)x∈[2，3）時(shí)，f（x）=af（x-1）=a•2^x-1（2x-1）；
當(dāng)x∈[n，n+1）時(shí)，f（x）=a^n-1f[x-（n-1）]=a^n-1•2^x-n+1（2x-2n+3）；
即x∈[n，n+1）時(shí)，f（x）=a^n-1•2^x-n+1（2x-2n+3），n∈N^*，
∵f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴a＞0且aⁿ•2^n-n（2n-2n+3）≥a^n-1•2^n-（n-1）（2n-2n+5），
解得a≥$\frac{10}{3}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{10}{3}$，+∞）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)與分類討論思想的應(yīng)用問題，是難題．