Question

13．已知直線x=$\frac{2}$與橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）交于A、B兩點(diǎn)，若橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)與A、B兩點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)矩形，則橢圓C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{4}$

Answer 1

分析 由題意求得A點(diǎn)坐標(biāo)，將A代入直線方程，利用橢圓的性質(zhì)，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：∵橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)與A、B兩點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)矩形，∴AB=2c，即A（$\frac{2}$，c），
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{2}）^{2}}{^{2}}=1$⇒3a²⁼4c²，⇒e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查橢圓離心率的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題