Question

已知

a

，

b

，

c

滿足|

a

|=|

b

|=

3

，

a

•

b

=

3

2

，|

c

-

a

-

b

|=1，則|

c

|的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：向量

a

，

b

，

c

滿足|

a

|=|

b

|=

3

，

a

•

b

=

3

2

，由此可求向量的夾角，如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．作

OA

=

a

，

OB

=

b

．設(shè)C（x，y），A（

3

，0），B（

3

2

，

3

2

），利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其數(shù)量積的性質(zhì)與已知|

c

-

a

-

b

|=1，可得x，y的等式，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式即可得出．

解答： 解：∵向量

a

，

b

，

c

滿足|

a

|=|

b

|=

3

，

a

•

b

=

3

2

，∴cos＜

a

，

b

＞=

3 2

3 × 3

=

1

2

，
∴＜

a

，

b

＞=60°，
如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
作

OA

=

a

，

OB

=

b

．設(shè)C（x，y），A（

3

，0），B（

3

2

，

3

2

），
∴

c

-

a

-

b

=（x-

3 3

2

，y-

3

2

）．
∵|

c

-

a

-

b

|=1，
∴（x-

3 3

2

）²+（y-

3

2

）²=1，
∴|

c

|的最大值為=|OM|+r=

( 3 3 2 )2+( 3 2 )2

+1=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其數(shù)量積的性質(zhì)、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式，考查了推理能力和計(jì)算能力．