Question

3．已知變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤6}\\{x-3y≤-2}\\{x≥1}\end{array}\right.$若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值為2，則$\frac{1}{a}$+$\frac{3}$的最小值為（　�。�

• A． 2+$\sqrt{3}$
• B． 5+2$\sqrt{6}$
• C． 8+$\sqrt{15}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)去最小值得到a，b的等式，利用基本不等式求解$\frac{1}{a}$+$\frac{3}$的最小值．

解答 解：約束條件對(duì)應(yīng)的 區(qū)域如圖：目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）經(jīng)過C時(shí)取最小值為2，
所以a+b=2，
則$\frac{1}{a}$+$\frac{3}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{3}$）（a+b）=$\frac{1}{2}$（4+$\frac{a}+\frac{3a}$）
≥2+$\sqrt{\frac{a}•\frac{3a}}$=2+$\sqrt{3}$；
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{3}$a=b，并且a+b=2時(shí)等號(hào)成立；
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡單線性規(guī)劃問題和基本不等式的應(yīng)用求最值；關(guān)鍵是求出a+b=2，對(duì)所求變形為基本不等式的形式求最小值．