Question

2．設函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$mx³+（4+m）x²，g（x）=aln（x-1），其中a≠0．
（I）若函數(shù)y=g（x）圖象恒過定點A，且點A關于直線x=$\frac{3}{2}$的對稱點在y=f（x）的圖象上，求m的值；
（Ⅱ）當a=8時，設F（x）=f′（x）+g（x+1），討論F（x）的單調性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出g（x）圖象恒過定點A的坐標，再求出點A的對稱點，代入求出m的值；
（Ⅱ）求出函數(shù)F（x）的導函數(shù)，再分類討論得到函數(shù)的單調性．

解答 解：（Ⅰ）令ln（x-1）=0，得x=2，
∴點P關于直線x=$\frac{3}{2}$的對稱點（1，0），
∴f（1）=0，$\frac{1}{3}$m+4+m=0，m=-3．
（II）F（x）=f′（x）+g（x+1）mx²+2（4+m）x+8lnx，（x＞0）．
∴F′（x）=2mx+（8+2m）x+$\frac{8}{x}$=$\frac{2m{x}^{2}+（8+2m）+8}{x}$=$\frac{（2mx+8）（x+1）}{x}$，
∵x＞0，∴x+1＞0，
∴當m≥0時，8+2mx＞0，F(xiàn)′（x）＞0，此時，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
當m＜0時，由F′（x）＞0得0＜x＜-$\frac{4}{m}$，由F′（x）＜0得x＞-$\frac{4}{m}$，
此時，F(xiàn)（x）在（0，-$\frac{4}{m}$）上是增函數(shù)，在（-$\frac{4}{m}$，+∞）上是減函數(shù)，
綜上所述，m≥0時，8+2mx＞0，F(xiàn)′（x）＞0，此時，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，當m＜0時，由F′（x）＞0得0＜x＜-$\frac{4}{m}$，由F′（x）＜0得x＞-$\frac{4}{m}$，
此時，F(xiàn)（x）在（0，-$\frac{4}{m}$）上是增函數(shù)，在（-$\frac{4}{m}$，+∞）上是減函數(shù)

點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)的單調性的關系，以及分類討論的思，培養(yǎng)了學生得運算能力，屬于中檔題．