Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2， ；數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且 ． （Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）把數(shù)列{an}和{bn}的公共項(xiàng)從小到大排成新數(shù)列{cn}，試寫出c1 ， c2 ， 并證明{cn}為等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知，當(dāng)n≥2時(shí)，an=[（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）]+a1=（2n﹣1+2n﹣2+…+2）+2=2n

又因?yàn)閍1=2，

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 ．

因?yàn)? ，所以，

兩式做差可得bn=3n﹣2，且b1=S1=1也滿足此式，

所以bn=3n﹣2；

（Ⅱ）由 ，bn=3n﹣2，可得c1=4=a2=b2，c2=a4=b6=16．

假設(shè) ，

則3m﹣2=2k．

所以 ，不是數(shù)列{bn}中的項(xiàng)；

=3（4m﹣2）﹣2，是數(shù)列中的第4m﹣2項(xiàng)．

所以cn+1=b4m﹣2= ，

從而 ．

所以{cn}是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意，對(duì)于數(shù)列{an}，由遞推公式可得an=[（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）]+a1，計(jì)算即可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，對(duì)于數(shù)列{bn}，有Sn公式表示出 ，兩式相減可得bn=3n﹣2，驗(yàn)證b1即可得答案；（2）根據(jù)題意，由數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式分析兩個(gè)數(shù)列的相同項(xiàng)，可得新數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式，由等比數(shù)列的定義分析可得答案．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等比關(guān)系的確定的相關(guān)知識(shí)，掌握等比數(shù)列可以通過定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．