【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=1﹣ ，其中n∈N* ．
（1）設(shè)bn= ，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項公式；
（2）設(shè)cn= ，數(shù)列{cncn+2}的前n項和為Tn ， 求證：Tn＜3．

【答案】
（1）證明：∵an+1=1﹣ ，bn= ，

∴bn+1﹣bn=﹣ ﹣ = ﹣ = ﹣ =2（常數(shù)），

∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．

∵a1=1，

∴b1=2，bn=2+（n﹣1）×2=2n，

由bn=2n，∴ =2n，

得an=


（2）證明：由cn= = = ，

∴cncn+2= =2 ，

∴數(shù)列{cncn+2}的前n項和為Tn=2 +

=2

=3﹣ ＜3．

∴Tn＜3


【解析】（1）由an+1=1﹣ ，bn= ，只要證明：bn+1﹣bn=常數(shù)即可得出，再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出bn ． （2）由cn= = ，可得cncn+2= =2 ，利用“裂項求和”與不等式的性質(zhì)即可得出．
【考點精析】通過靈活運用等差數(shù)列的通項公式（及其變式）和數(shù)列的前n項和，掌握通項公式：或；數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系即可以解答此題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2， ；數(shù)列{bn}的前n項和為Sn ， 且 ． （Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（Ⅱ）把數(shù)列{an}和{bn}的公共項從小到大排成新數(shù)列{cn}，試寫出c1 ， c2 ， 并證明{cn}為等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù)，且其定義域為[a﹣1，2a]，則（ ）
A. ，b=0
B.a=﹣1，b=0
C.a=1，b=1
D.a= ，b=﹣1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，
（1）當(dāng)a=﹣1時，求函數(shù)的最大值和最小值；
（2）求實數(shù)a的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[﹣5，5]上是單調(diào)減函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在正四棱錐S﹣ABCD中，O為頂點在底面內(nèi)的投影，P為側(cè)棱SD的中點，且SO=OD，則直線BC與平面PAC的夾角是（ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正數(shù)數(shù)列{xn}滿足x1= ，xn+1= ，n∈N* ．
（1）求x2 ， x4 ， x6 ．
（2）猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于二次函數(shù)y=﹣4x2+8x﹣3，
（1）指出圖象的開口方向、對稱軸方程、頂點坐標(biāo)；
（2）求函數(shù)的最大值或最小值；
（3）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列說法正確的是 ．
①任意x∈R，都有3x＞2x；
②若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，則有l(wèi)oga（M+N）=logaMlogaN；
③ 的最大值為1；
④在同一坐標(biāo)系中，y=2x與 的圖象關(guān)于y軸對稱．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=aex﹣x﹣1，a∈R． （Ⅰ）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：當(dāng)x∈（0，+∞）時，ln ＞ ．

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