Question

18．心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取30名男生和20名女生，給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答．選題情況如表：（單位：人） 

	幾何題	代數(shù)題	總計(jì)
男同學(xué)	22	8	30
女同學(xué)	8	12	20
總計(jì)	30	20	50

（1）能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)？
（2）現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對(duì)她們的答題情況進(jìn)行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．
附表及公式

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）計(jì)算K²，對(duì)照附表做結(jié)論；
（2）使用組合數(shù)公式和古典概型的概率計(jì)算公式分別計(jì)算X取不同值時(shí)的概率，得到X的分布列，求出數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）k²=$\frac{50×（22×12-8×8）^{2}}{30×20×30×20}$≈5.556＞5.024．
∴有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)．
（2）選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人有C₈²=28種方法，其中甲、乙兩人都沒抽到有C₆²=15種方法，恰有一人被抽到有C₂¹C₆¹=12種方法，兩人都被抽到有C₂²=1種方法
X的可能取值為0，1，2．
P（X=0）=$\frac{15}{28}$，P（X=1）=$\frac{12}{28}$=$\frac{3}{7}$，P（X=2）=$\frac{1}{28}$．
X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{28}$

∴E（X）=0×$\frac{15}{28}$+1×$\frac{3}{7}$+2×$\frac{1}{28}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)思想，離散性隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．