Question

8．若不等式x²+2ax+1≥0對(duì)于一切x∈（0，$\frac{1}{2}}$]成立，則a的最小值是-$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 不等式x²+2ax+1≥0對(duì)于一切x∈（0，$\frac{1}{2}$]恒成立，轉(zhuǎn)化為a≥-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2x}$對(duì)于一切x∈（0，$\frac{1}{2}$]恒成立，求出-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2x}$的最大值即可．

解答 解：當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{2}}$]時(shí)，
不等式x²+2ax+1≥0可化為a≥-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，
設(shè)f（x）=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，x∈（0，$\frac{1}{2}}$]，
且函數(shù)f（x）在x∈（0，$\frac{1}{2}}$]上是單調(diào)增函數(shù)，
最大值是f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×\frac{1}{2}}$=-$\frac{5}{4}$，
∴a的最小值是-$\frac{5}{4}$．
故答案為：$-\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的恒成立問(wèn)題，也考查了函數(shù)的單調(diào)性運(yùn)用問(wèn)題，是綜合性題目．