Question

9．如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=$\sqrt{2}$，CC₁=1，M為線段AB的中點．
（1）求異面直線DD₁ 與MC₁所成的角；
（2）求直線MC₁與平面BB₁C₁C所成的角；
（3）求三棱錐C-MC₁D₁的體積．

Answer 1

分析 （1）說明∠MC₁C就是異面直線DD₁ 與MC₁所成的角，連接MC，在△C₁MC中求解即可．
（2）連接BC₁，說明∠MC₁B為直線MC₁與平面BB₁C₁C所成的角，由△MC₁B為Rt△．求解即可．
（3）利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求三棱錐C-MC₁D₁的體積．

解答 解：（1）因為C₁C∥D₁D，
所以∠MC₁C就是異面直線DD₁ 與MC₁所成的角，…（2分）
連接MC，則△C₁MC為Rt△，得MC=$\sqrt{3}$，MC₁=2，
所以∠MC₁C=60^○．
即異面直線DD₁ 與MC₁所成的角為60°；…（4分）
（2）因為MB⊥平面B₁C₁CB，連接BC₁，則∠MC₁B為直線MC₁與平面BB₁C₁C所成的角，…（6分）
由△MC₁B為Rt△，得BC₁=$\sqrt{3}$，MC₁=2，所以∠MC₁B=30^○，
即直線MC₁與平面BB₁C₁C所成的角為30⁰；…（8分）
（3）${V_{C-M{C_1}{D_1}}}={V_{M-C{C_1}{D_1}}}=\frac{1}{3}×{S_{△C{C_1}{D_1}}}×BC=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×\sqrt{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$．…..（12分）

點評 本題考查直線與平面所成角，異面直線所成角的求法，考查三棱錐體積的計算，考查空間想象能力以及計算能力．