Question

15．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓E的離心率為$\frac{1}{2}$，且過(guò)點(diǎn)M（2，3）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓E上一點(diǎn)，過(guò)P作兩條斜率之積$\frac{1}{2}$的直線l₁，l₂．以橢圓E的右焦點(diǎn)C為圓心$\sqrt{2}$為半徑作圓，當(dāng)直線l₁，l₂都與圓C相切時(shí)，求P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （I）設(shè)橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{^{2}}$=1，又a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（II）由（I）可知：圓心C（2，0），半徑為$\sqrt{2}$．設(shè)P（x₀，y₀），直線l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂．則l₁的方程為：y-y₀=k₁（x-x₀），l₂的方程為：y-y₀=k₂（x-x₀），利用直線l₁與圓C相切的充要條件可得：$[（2-{x}_{0}）^{2}-2]{k}_{1}^{2}$+2（2-x₀）y₀k₁+${y}_{0}^{2}$=0，同理可得：$[（2-{x}_{0}）^{2}-2]$${k}_{2}^{2}$+2（2-x₀）y₀k₂+${y}_{0}^{2}$=0，因此k₁，k₂是方程：$[（2-{x}_{0}）^{2}-2]$k²+2（2-x₀）y₀k+${y}_{0}^{2}$=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．可得k₁k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}-2}{（2-{x}_{0}）^{2}-2}$=$\frac{1}{2}$，又$\frac{{x}_{0}^{2}}{16}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{12}$=1．聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：（I）設(shè)橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{^{2}}$=1，又a²=b²+c²，
聯(lián)立解得c=2，a=4，b²=12．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（II）由（I）可知：圓心C（2，0），半徑為$\sqrt{2}$．
設(shè)P（x₀，y₀），直線l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂．
則l₁的方程為：y-y₀=k₁（x-x₀），l₂的方程為：y-y₀=k₂（x-x₀），
由直線l₁與圓C相切時(shí)，$\frac{|2{k}_{1}+{y}_{0}-{k}_{1}{x}_{0}|}{\sqrt{{k}_{1}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴$[（2-{x}_{0}）^{2}-2]{k}_{1}^{2}$+2（2-x₀）y₀k₁+${y}_{0}^{2}$=0，同理可得：$[（2-{x}_{0}）^{2}-2]$${k}_{2}^{2}$+2（2-x₀）y₀k₂+${y}_{0}^{2}$=0，
∴k₁，k₂是方程：$[（2-{x}_{0}）^{2}-2]$k²+2（2-x₀）y₀k+${y}_{0}^{2}$=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
∴$\left\{\begin{array}{l}{（2-{x}_{0}）^{2}≠0}\\{△＞0}\end{array}\right.$，且k₁k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}-2}{（2-{x}_{0}）^{2}-2}$=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{{x}_{0}^{2}}{16}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{12}$=1．
∴$5{x}_{0}^{2}$-8x₀-36=0，解得x₀=-2或$\frac{18}{5}$．
由x₀=-2，解得y₀=±3；由x₀=$\frac{18}{5}$，解得y₀=$±\frac{\sqrt{57}}{5}$，滿足條件．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為：（-2，±3），$（\frac{18}{5}，±\frac{\sqrt{57}}{5}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．