Question

12．2015年下學(xué)期某市教育局對(duì)某校高三文科數(shù)學(xué)進(jìn)行教學(xué)調(diào)研，從該校文科生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將他們的成績(jī)分成六段[80，90），[90，100），[100，110），[120，130），[130，140）后得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求這40個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值；
（2）若從數(shù)學(xué)成績(jī)[80，100）內(nèi)的學(xué)生中任意抽取2人，求成績(jī)?cè)赱80，90）中至少有一人的概率．

Answer 1

分析 （1）眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形對(duì)應(yīng)的成績(jī)區(qū)間的中點(diǎn)，由此能求出眾數(shù)的估計(jì)值，設(shè)中位數(shù)的估計(jì)值為x，由頻率分布直方圖得10×0.005+0.010×10+0.020×10+（x-110）×0.030=0.5，由此能求出中位數(shù)的估計(jì)值．
（2）從圖中知，成績(jī)?cè)赱80，90）的人數(shù)為2人，成績(jī)?cè)赱90，100）的人數(shù)為4人，由此利用列舉法能求出從數(shù)學(xué)成績(jī)[80，100）內(nèi)的學(xué)生中任意抽取2人，成績(jī)?cè)赱80，90）中至少有一人的概率．

解答 解：（1）眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形對(duì)應(yīng)的成績(jī)區(qū)間的中點(diǎn)，
即眾數(shù)的估計(jì)值為115．…（3分）
設(shè)中位數(shù)的估計(jì)值為x，
則10×0.005+0.010×10+0.020×10+（x-110）×0.030=0.5，解得x=115．
∴中位數(shù)的估計(jì)值為115…（6分）
（2）從圖中知，成績(jī)?cè)赱80，90）的人數(shù)為m₁=0.005×10×40=2（人），
成績(jī)?cè)赱90，100）的人數(shù)為m₂=0.010×10×40=4（人），
設(shè)成績(jī)?cè)赱80，90）的學(xué)生記為a，b，成績(jī)?cè)赱90，100）的學(xué)生記為c，d，e，f．
則從成績(jī)?cè)赱80，100）內(nèi)的學(xué)生中任取2人組成的基本事件有：
（a，b）（a，c）（a，d）（a，e）（a，f）（b，c）（b，d）（b，e）（b，f）（c，d）
（c，e）（c，f）（d，e）（d，f）（e，f）共15種．
其中成績(jī)?cè)赱80，90）的學(xué)生至少有一人的基本事件有：
（a，b）（a，c）（a，d）（a，e）（a，f）（b，c）（b，d）（b，e）（b，f）共9種．
所以成績(jī)?cè)赱80，90）的學(xué)生至少有一人的概率為$P=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查眾數(shù)、中位數(shù)、概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖的性質(zhì)、列舉法的合理運(yùn)用．