【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)= ax+b.
(1)若f(x)與g(x)在x=1處相切,試求g(x)的表達式;
(2)若φ(x)= ﹣f(x)在[1,+∞)上是減函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:由已知得f′(x)= ,∴f′(1)=1= a,a=2.
又∵g(1)=0= a+b,∴b=﹣1,∴g(x)=x﹣1
(2)解:φ(x)= ﹣f(x)= ﹣lnx在[1,+∞)上是減函數(shù),
∴φ′(x)= ≤0在[1,+∞)上恒成立.
即x2﹣(2m﹣2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立,則2m﹣2≤x+ ,x∈[1,+∞),
∵x+ ∈[2,+∞),∴2m﹣2≤2,m≤2
【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),得到f′(1)=1= a,求出a的值即可;根據(jù)g(1)=0,求出b的值,從而求出g(x)的表達式;(2)求出φ′(x),問題轉化為則2m﹣2≤x+ ,x∈[1,+∞),求出m的范圍即可.
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的相關知識點,需要掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,且四棱錐P-ABCD的體積為,求該四棱錐的側面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一次水下考古活動中,某一潛水員需潛水50米到水底進行考古作業(yè),其用氧量包含以下三個方面:
①下潛平均速度為米/分鐘,每分鐘的用氧量為升;
②水底作業(yè)時間范圍是最少10分鐘最多20分鐘,每分鐘用氧量為0.3升;
③返回水面時,平均速度為米/分鐘,每分鐘用氧量為0.32升;潛水員在此次考古活動中的總用氧量為升.
(1)如果水底作業(yè)時間是10分鐘,將表示為的函數(shù);
(2)若,水底作業(yè)時間為20分鐘,求總用氧量的取值范圍;
(3)若潛水員攜帶氧氣13.5升,請問潛水員最多在水下多少分鐘(結果取整數(shù))?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知冪函數(shù)滿足.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若函數(shù),是否存在實數(shù)使得的最小值為0?若存在,求出的值;若不存在,說明理由;
(3)若函數(shù),是否存在實數(shù),使函數(shù)在上的值域為?若存在,求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,說明理由.
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【題目】從裝有n+1個球(其中n個白球,1個黑球)的口袋中取出m個球(0<m≤n,m,n∈N),共有 種取法.在這 種取法中,可以分成兩類:一類是取出的m個球全部為白球,共有 種取法;另一類是取出的m個球有m﹣1個白球和1個黑球,共有 種取法.顯然 ,即有等式: 成立.試根據(jù)上述思想化簡下列式子: = .
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【題目】通過市場調查,得到某種產品的資金投入x(單位:萬元)與獲得的利潤y(單位:萬元)的數(shù)據(jù),如表所示:
資金投入x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
利潤y | 2 | 3 | 5 | 6 | 9 |
(1)畫出數(shù)據(jù)對應的散點圖;
(2)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求線性回歸直線方程x+;
(3)現(xiàn)投入資金10萬元,求獲得利潤的估計值為多少萬元?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程 (φ為參數(shù)),以O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求圓C的極坐標方程;
(2)直線l的極坐標方程是2ρsin(θ+ )=3 ,射線OM:θ= 與圓C的交點為O、P,與直線l的交點為Q,求線段PQ的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知等腰△ABC中,AB=BC,P在底邊AC上的任一點,PE⊥AB于點E,PF⊥BC于點F,CD⊥AB于點D.求證:CD=PE+PF.
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【題目】已知在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且bsinA+acosB=0.
(1)求角B的大。
(2)若b=2,求△ABC面積的最大值.
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