【題目】設函數(shù)f(x)=ax2﹣(a+1)x+1.
(1)若不等式f(x)<mx的解集為{x|1<x<2},求實數(shù)a、m的值;
(2)解不等式f(x)<0.
【答案】
(1)解:∵f(x)=ax2﹣(a+1)x+1,
∴不等式f(x)<mx等價于ax2﹣(a+m+1)x+1<0,
依題意知不等式ax2﹣(a+m+1)x+1<0的解集為{x|1<x<2},
∴a>0且1和2為方程ax2﹣(a+m+1)x+1=0的兩根,
∴ ,
解得 ,
∴實數(shù)a、m的值分別為a=1、m=0
(2)解:不等式f(x)<0可化為(ax﹣1)(x﹣1)<0,
(。┊攁=0時,不等式f(x)<0等價于﹣x+1<0,解得x>1,
故原不等式的解集為{x|x>1},
(ⅱ)當a>0時,不等式f(x)<0等價于 ,
①當0<a<1時 ,不等式 的解集為 ,
即原不等式的解集為 ,
②當a=1時,不等式 的解集為φ,
即原不等式的解集為φ,
③當a>1時 ,不等式 的解集為 ,
即原不等式的解集為 ,
(ⅲ)當a<0時,不等式f(x)<0等價于 ,
∵a<0,
∴ ,
∴不等式 的解集為{x|x< 或x>1},
即原不等式的解集為{x|x< 或x>1},
綜上所述,當a>1時不等式f(x)<0的解集為 ,
當a=1時不等式f(x)<0的解集為φ,
當0<a<1時不等式f(x)<0的解集為 ,
當a=0時不等式f(x)<0的解集為{x|x>1},
當a<0時不等式f(x)<0的解集為為{x|x< 或x>1}
【解析】(1)根據(jù)一元二次不等式的解集,利用根與系數(shù)的關系,即可求出實數(shù)a、m的值;(2)不等式化為(ax﹣1)(x﹣1)<0,討論a=0和a>0、a<0時,求出不等式f(x)<0的解集即可.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關知識,掌握當時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減,以及對解一元二次不等式的理解,了解求一元二次不等式解集的步驟:一化:化二次項前的系數(shù)為正數(shù);二判:判斷對應方程的根;三求:求對應方程的根;四畫:畫出對應函數(shù)的圖象;五解集:根據(jù)圖象寫出不等式的解集;規(guī)律:當二次項系數(shù)為正時,小于取中間,大于取兩邊.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足 , ,n∈N* .
(1)求證:數(shù)列 為等比數(shù)列;
(2)是否存在互不相等的正整數(shù)m,s,t,使m,s,t成等差數(shù)列,且am﹣1,as﹣1,at﹣1成等比數(shù)列?如果存在,求出所有符合條件的m,s,t;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設an= sin ,Sn=a1+a2+…+an , 在S1 , S2 , …S100中,正數(shù)的個數(shù)是( )
A.25
B.50
C.75
D.100
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【題目】在一次模擬考試后,從高三某班隨機抽取了20位學生的數(shù)學成績,其分布如下:
分組 | [90,100] | [100,110) | [110,120) | [120,130) | [130,140) | [140,150) |
頻數(shù) | 1 | 2 | 6 | 7 | 3 | 1 |
分數(shù)在130分(包括130分)以上者為優(yōu)秀,據(jù)此估計該班的優(yōu)秀率約為( 。
A.10%
B.20%
C.30%
D.40%
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【題目】某校1200名高三年級學生參加了一次數(shù)學測驗(滿分為100分),為了分析這次數(shù)學測驗的成績,從這1200人的數(shù)學成績中隨機抽出200人的成績繪制成如下的統(tǒng)計表,請根據(jù)表中提供的信息解決下列問題;
(1)求a、b、c的值;
(2)如果從這1200名學生中隨機取一人,試估計這名學生該次數(shù)學測驗及格的概率p(注:60分及60分以上為及格);
(3)試估計這次數(shù)學測驗的年級平均分.
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【題目】張老師給學生出了一道題,“試寫一個程序框圖,計算S=1+ + + + ”.發(fā)現(xiàn)同學們有如下幾種做法,其中有一個是錯誤的,這個錯誤的做法是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】某校高三文科分為五個班.高三數(shù)學測試后,隨機地在各班抽取部分學生進行成績統(tǒng)計,各班被抽取的學生人數(shù)恰好成等差數(shù)列,人數(shù)最少的班被抽取了18人.抽取出來的所有學生的測試成績統(tǒng)計結(jié)果的頻率分布條形圖如圖所示,其中120~130(包括120分但不包括130分)的頻率為0.05,此分數(shù)段的人數(shù)為5人.
(1)問各班被抽取的學生人數(shù)各為多少人?
(2)在抽取的所有學生中,任取一名學生,求分數(shù)不小于90分的概率.
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【題目】 【2017四川宜賓二診】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,已知點,曲線的參數(shù)方程為.以原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.
(Ⅰ)判斷點與直線的位置關系并說明理由;
(Ⅱ)設直線與曲線的兩個交點分別為,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC= AA1 , D是棱AA1的中點.
(Ⅰ)證明:平面BDC1⊥平面BDC
(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比.
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