【題目】已知數(shù)列{an}滿足 , ,n∈N* .
(1)求證:數(shù)列 為等比數(shù)列;
(2)是否存在互不相等的正整數(shù)m,s,t,使m,s,t成等差數(shù)列,且am﹣1,as﹣1,at﹣1成等比數(shù)列?如果存在,求出所有符合條件的m,s,t;如果不存在,請說明理由.
【答案】
(1)證明:因為 ,
所以 .
所以 .
因為 ,則 .
所以數(shù)列 是首項為 ,公比為 的等比數(shù)列
(2)解:由(1)知, ,
所以 .
假設存在互不相等的正整數(shù)m,s,t滿足條件,
則有
由 與 ,
得 .
即3m+t+2×3m+2×3t=32s+4×3s.
因為m+t=2s,所以3m+3t=2×3s.
因為 ,當且僅當m=t時等號成立,
這與m,s,t互不相等矛盾.
所以不存在互不相等的正整數(shù)m,s,t滿足條件
【解析】(1)由 ,變形可得 ,從而可證明數(shù)列 為等比數(shù)列;(2)假設存在互不相等的正整數(shù)m,s,t滿足條件,則有 ,代入條件,利用基本不等式,即可得出結論.
【考點精析】關于本題考查的等比關系的確定和數(shù)列的通項公式,需要了解等比數(shù)列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷;如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能得出正確答案.
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【題目】已知點A,B,C,D是直角坐標系中不同的四點,若 =λ (λ∈R), =μ (μ∈R),且 =2,則下列說法正確的是( )
A.C可能是線段AB的中點
B.D可能是線段AB的中點
C.C,D可能同時在線段AB上
D.C,D不可能同時在線段AB的延長線上
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【題目】在直角坐標系xOy中,點P到兩點(0,﹣),(0,)的距離之和等于4,設點P的軌跡為C,直線y=kx+1與C交于A,B兩點.
(1)寫出C的方程;
(2)若⊥ , 求k的值.
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【題目】【2017南通二模19】已知函數(shù),,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)在x1處的切線方程;
(2)若存在,使得成立,其中為常數(shù),
求證:;
(3)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】【2017徐州考前信息卷20】已知函數(shù),,,且的最小值為.
(1)求的值;
(2)若不等式對任意恒成立,其中是自然對數(shù)的底數(shù),求的取值范圍;
(3)設曲線與曲線交于點,且兩曲線在點處的切線分別為,.試判斷,與軸是否能圍成等腰三角形?若能,確定所圍成的等腰三角形的個數(shù);若不能,請說明理由.
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【題目】【揚州市2016—2017學年度第一學期期末檢測】(本小題滿分16分)
如圖,橢圓,圓,過橢圓的上頂點的直線:分別交圓、橢圓于不同的兩點、,設.
(1)若點點求橢圓的方程;
(2)若,求橢圓的離心率的取值范圍.
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【題目】2012年“雙節(jié)”期間,高速公路車輛較多.某調查公司在一服務區(qū)從七座以下小型汽車中按進服務區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查,將他們在某段高速公路的車速(km/t)分成六段:(60,65),[65,70),[70,75),[80,85),[85,90)后得到如圖的頻率分布直方圖.
(1)某調查公司在采樣中,用到的是什么抽樣方法?
(2)求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值.
(3)若從車速在[60,70)的車輛中任抽取2輛,求車速在[65,70)的車輛至少有一輛的概率.
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【題目】設函數(shù)f(x)=ax2﹣(a+1)x+1.
(1)若不等式f(x)<mx的解集為{x|1<x<2},求實數(shù)a、m的值;
(2)解不等式f(x)<0.
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