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10.已知點P在拋物線x2=y上運動,過點P作y軸的垂線段PD,垂足為D.動點M(x,y)滿足DM=2DP,設點M的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設直線l:y=-1,若經(jīng)過點F(0,1)的直線與曲線C相交于A、B兩點,過點A、B分別作直線l的垂線,垂足分別為A1、B1,試判斷直線A1F與B1F的位置關系,并證明你的結論.

分析 (Ⅰ)設P(x0,y0),由DM=2DP知點P為線段DM的中點,{x0=12xy0=y,利用點P在拋物線x2=y上,然后求解曲線C的方程.
(Ⅱ)判斷:直線A1F與B1F垂直,證明如下:設A(x1,y1),B(x2,y2),則A1(x1,-1),B1(x2,-1),由已知,直線AB的斜率k存在,設其方程為y=kx+1,聯(lián)立{y=kx+1x2=4y,通過計算A1FB1F的數(shù)量積,推出結果.

解答 (本小題滿分12分)
解(Ⅰ)設P(x0,y0),由DM=2DP知點P為線段DM的中點,故{x0=12xy0=y…(2分)
因為點P在拋物線x2=y上,故x02=y0,從而12x2=y…(4分)
即曲線C的方程為x2=4y…(5分)
(Ⅱ)判斷:直線A1F與B1F垂直,…(6分)
證明如下:設A(x1,y1),B(x2,y2),則A1(x1,-1),B1(x2,-1),由已知,直線AB的斜率k存在,設其方程為y=kx+1.…(7分)
{y=kx+1x2=4y得:x2-4kx-4=0…(8分)
所以x1x2=-4,…(9分)
因為 A1F=x12B1F=x22,…(10分)
A1FB1F=x1x2+4=0A1FB1F…(11分)
所以直線A1F與B1F垂直.…(12分)
(其它解法參照給分)

點評 本題考查拋物線的方程的求法,直線與拋物線的位置關系的綜合應用,斜率的數(shù)量積與直線的垂直關系,考查轉化思想以及計算能力.

練習冊系列答案
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②圖象關于y軸對稱;
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