Question

19．如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，⊙A的半徑為1，PQ為⊙A的任一條直徑，則$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$-$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{CB}$的值為（　　）

• A． -1
• B． 1
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 由題意可得$\overrightarrow{AQ}$=-$\overrightarrow{AP}$，|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2，再根據(jù) $\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$-$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{CB}$=（$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AC}$）-$\overrightarrow{AP}$•（-$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$），計(jì)算求得結(jié)果．

解答 解：等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，⊙A的半徑為1，PQ為⊙A的任一條直徑，如圖所示：
∴$\overrightarrow{AQ}$=-$\overrightarrow{AP}$，|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2•2•cos60°=2，
∴$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$-$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{CB}$=（$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AC}$）-$\overrightarrow{AP}$•（-$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$）=$\overline{AP}•\overrightarrow{AQ}$-$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$
=$\overline{AP}•\overrightarrow{AQ}$-$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=-${\overrightarrow{AP}}^{2}$+$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=-${\overrightarrow{AP}}^{2}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=-1+2=1，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量知識(shí)在幾何中的應(yīng)用問(wèn)題．一般在求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，常用三角形法則或平行四邊形法則把問(wèn)題轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．