Question

1．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，MN分別是A₁B，B₁D₁的中點．
（1）證明：MN∥平面BB₁C₁C；
（2）設(shè)AB=BC=2，二面角N-A₁B-B₁的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$，求三棱錐M-NBC的體積．

Answer 1

分析 （1）取A₁B₁的中點G，由三角形中位線的性質(zhì)證得線線平行，進一步得到線面平行，可得MN∥平面BB₁C₁C；
（2）求出二面角N-A₁B-B₁的平面角，設(shè)出AA₁=2m，通過求解直角三角形得到AA₁，然后求得三角形NBC的面積，再求出M到平面NBC的距離，代入三棱錐體積公式得答案．

解答 （1）證明：如圖，
取A₁B₁的中點G，連接MG，NG，又M，N分別是A₁B，B₁D₁的中點，
∴MG∥BB₁，NG∥A₁D₁∥B₁C₁，
∴MG∥面BB₁C₁C，NG∥BB₁C₁C，
又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BB₁C₁C，則MN∥平面BB₁C₁C；
（2）解：在平面A₁ABB₁中，過G作GH⊥A₁B，垂足為H，連接NH，則∠NHG為二面角N-A₁B-B₁的平面角，
∴$cos∠NHG=\frac{GH}{NH}=\frac{\sqrt{10}}{5}$．
設(shè)AA₁=2m，
∵AB=BC=2，∴${A}_{1}M=\sqrt{{m}^{2}+1}$，則$HG=\frac{m}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
NH=$\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{{m}^{2}+1}}=\sqrt{\frac{2{m}^{2}+1}{{m}^{2}+1}}$，∴$\frac{m}{\sqrt{2{m}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，解得：m=$\sqrt{2}$．
則N到BC的距離為$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}=3$，
∴${S}_{△BNC}=\frac{1}{2}×2×3=3$．
過M作BG的垂線MK，則MK為M到平面NBC的距離．
∴MK=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴三棱錐M-NBC的體積V=$\frac{1}{3}×3×\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．