Question

10．已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個紅球和4個黑球．現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球．
（1）求取出的4個球均為黑球的概率；
（2）求取出的4個球中恰有1個紅球的概率；
（3）設ξ為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求ξ的分布列．

Answer 1

分析 （1）取出的4個球均為黑色球包括從甲盒內(nèi)取出的2個球均黑球且從乙盒內(nèi)取出的2個球為黑球，這兩個事件是相互獨立的，由相互獨立事件同時發(fā)生的概率求出結果；
（2）取出的4個球中恰有1個紅球表示從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅紅，1個是黑球或從甲盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球兩種情況，它們是互斥的，互斥事件概率加法公式求出它的概率；
（3）ξ為取出的4個球中紅球的個數(shù)，則ξ可能的取值為0，1，2，3，結合前兩問分別求出相應的概率，寫出分布列即可．

解答 解：（1）設“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件A，
“從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件B．
∵事件A，B相互獨立，且P（A）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$
∴取出的4個球均為黑球的概率為P（A•B）=P（A）•P（B）=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{1}{5}$；
（2）設“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球”為事件C，
“從甲盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件D．
∵事件C，D互斥，且P（C）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$•$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{4}{15}$，P（D）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{4}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
∴取出的4個球中恰有1個紅球的概率為P（C+D）=P（C）+P（D）=$\frac{4}{15}$+$\frac{1}{5}$=$\frac{7}{15}$，
（3）ξ可能的取值為0，1，2，3．
由（1）、（2）得，P（ξ=0）=$\frac{1}{5}$，P（ξ=1）=$\frac{7}{15}$，
∵P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{30}$，∴P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=$\frac{3}{10}$，
則ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{7}{15}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

點評 本題考查互斥事件、相互獨立事件、離散型隨機變量的分布列，考查運用概率知識解決實際問題的能力．