Question

已知a₁=1，a_n=

an-1

3an-1+1

（n≥2），則a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用取倒數(shù)法，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可．

解答： 解：∵a₁=1，a_n=

an-1

3an-1+1

，
∴兩邊取倒數(shù)得

1

an

=

3an-1+1

an-1

=

1

an-1

+3，
即

1

an

-

1

an-1

=3，
則數(shù)列{

1

an

}是公差d=3的等差數(shù)列，首項(xiàng)為

1

a1

=1，
即

1

an

=1+3（n-1）=3n-2，
故a_n=

1

3n-2

．
故答案為：

1

3n-2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用取倒數(shù)法，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵．