Question

14．有下列五個命題：
①函數(shù)y=4cos2x，x∈[-10π，10π]不是周期函數(shù)；
②已知定義域為R的奇函數(shù)f（x），滿足f（x+3）=f（x），當(dāng)x∈（0，$\frac{3}{2}$）時，f（x）=sinπx，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上的零點個數(shù)是9；
③為了得到函數(shù)y=-cos2x的圖象，可以將函數(shù)y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$；
④已知函數(shù)f（x）=x-sinx，若x₁，x₂∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}}$]且f（x₁）+f（x₂）＞0，則x₁+x₂＞0；
⑤設(shè)曲線f（x）=acosx+bsinx的一條對稱軸為x=$\frac{π}{5}$，則點（$\frac{2π}{5}$，0）為曲線y=f（$\frac{π}{10}$-x）的一個對稱中心．
其中正確命題的序號是①②④⑤．

Answer 1

分析 ①根據(jù)周期函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，
②根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)零點的定義進(jìn)行求解即可．
③根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移變換關(guān)系進(jìn)行判斷，
④判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進(jìn)行證明即可，
⑤由函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的周期，求出函數(shù)的對稱中心，利用函數(shù)的對稱性以及函數(shù)圖象的平移，求出曲線$y=f（\frac{π}{10}-x）$的一個對稱點即可．

解答 解：①函數(shù)y=4cos2x，x∈[-10π，10π]不是周期函數(shù)；正確，
②由f（x+3）=f（x）得函數(shù)的周期是3，
當(dāng)x∈（0，$\frac{3}{2}$）時，f（x）=sinπx，sinπx=0得πx=kπ，則x=k，在x∈（0，$\frac{3}{2}$）內(nèi)，x=1，只有一個零點，
則f（1）=f（4）=0，
又f（-1）=-f（1）=0，則f（-1）=f（2）=f（5），
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=0，則f（0）=f（3）=f（6）=0，
令x=-$\frac{3}{2}$，則f（-$\frac{3}{2}$+3）=f（-$\frac{3}{2}$），即f（$\frac{3}{2}$）=-f（$\frac{3}{2}$），則f（$\frac{3}{2}$）=0，則f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{9}{2}$）=0
則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上的零點為0，1，2，3，4，5，6，$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$，共9個零點，故②正確；
③將函數(shù)y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$得到y(tǒng)=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$）]=sin（2x+$\frac{π}{6}$）；而y=-cos2x=cos（π-2x）=sin（$\frac{π}{2}$-π+2x）=sin（2x-$\frac{π}{2}$），故③錯誤，
④已知函數(shù)f（x）=x-sinx，則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=1-cosx≥0，則f（x）為增函數(shù)，
若x₁，x₂∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}}$]且f（x₁）+f（x₂）＞0，得f（x₁）＞-f（x₂）=f（-x₂），即x₁＞-x₂，則x₁+x₂＞0成立；故④正確，
⑤曲線f（x）=acosx+bsinx=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+θ），tanθ=$\frac{a}$，
所以函數(shù)的周期為：2π．因為曲線f（x）=acosx+bsinx的一條對稱軸為$x=\frac{π}{5}$，
所以函數(shù)的一個對稱點為：（$\frac{π}{5}-\frac{π}{2}，0$），即（$-\frac{3π}{10}，0$）．
函數(shù)y=f（-x）的一個對稱中心為（$\frac{3π}{10}，0$），
$y=f（\frac{π}{10}-x）$的圖象可以由函數(shù)y=f（-x）的圖象向右平移$\frac{π}{10}$單位得到的，
所以曲線$y=f（\frac{π}{10}-x）$的一個對稱點為（$\frac{3π}{10}+\frac{π}{10}，0$），即$（\frac{2π}{5}，0）$．故⑤正確，
故答案為：①②④⑤．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)奇偶性和周期性的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．