Question

5．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等腰直角三角形，且斜邊AB=2$\sqrt{2}$，側(cè)棱AA₁=3，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AA₁上，AE=λAA₁（λ為實(shí)數(shù)）．
（1）求證：不論λ取何值時(shí)，恒有CD⊥B₁E；
（2）當(dāng)λ=$\frac{1}{3}$時(shí)，求平面CDE與平面ABC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）只需證明CD⊥平面ABB₁A₁即可得出結(jié)論；
（2）由CD⊥平面ABB₁A₁可知∠ADE為所求線面角，利用勾股定理計(jì)算DE，即可求出tan∠ADE．

解答 證明：（1）∵AC=BC，點(diǎn) D 為 AC 的中點(diǎn)，
∴CD⊥AB，
∵AA₁⊥平面 ABC，CD?平面 ABC，
∴AA₁⊥CD，
又AA₁?平面ABB₁A₁，AB?平面ABB₁A₁，AA₁∩AB=A，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，
又B₁E?平面ABB₁A₁，
∴CD⊥B₁E．
（2）由（1）知，CD⊥平面ABB₁A₁，
∴DE⊥CD，AD⊥CD．
∴∠ADE為二面角E-CD-A的平面角．
∵AE=$\frac{1}{3}A{A}_{1}$=1，AD=$\frac{1}{2}AB$=$\sqrt{2}$，∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴cos∠ADE=$\frac{AD}{DE}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴平面CDE與平面ABC所成的銳二面角的余弦值大小為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，線面角的計(jì)算，屬于中檔題．