Question

17．若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ²），P（μ-σ＜ξ＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜ξ＜μ+2σ）=0.9544，設(shè)ξ～N（1，σ²），且P（ξ≥3）=0.1587，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓x²+y²=σ²上有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（-13，13）．

Answer 1

分析 根據(jù)正態(tài)分布特點(diǎn)計(jì)算P（-1＜ξ＜3）=0.6826，從而得出σ=2，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出圓心到直線的距離范圍，從而得出c的范圍．

解答 解：$P（ξ≥3）=P（ξ≤-1）=\frac{1}{2}[1-P（-1＜ξ＜3）]⇒P（-1＜ξ＜3）=0.6826$，
∴1-σ=-1，1+σ=3，故σ=2，
∴圓的半徑為2，
∵圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1，
∴圓心（0，0）到直線的距離d滿足0≤d＜1．
∵$d=\frac{|c|}{{\sqrt{{{12}^2}+{5^2}}}}=\frac{|c|}{13}$，
∴0≤|c|＜13，即c∈（-13，13）．
故答案為（-13，13）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正態(tài)分布的特點(diǎn)，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．