Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}的前 n 項和為 S_n，已知a₁=1，S_n+1=3S_n+1，n∈N^?．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若 b_n=$\frac{8n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）當n≥2時，S_n=3S_n-1+2，a_n+1=S_n+1-S_n=3a_n，則a₂=4，數(shù)列{a_n}是從第二項起以4為首項，3為公比的等比數(shù)列，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可知，當n≥2時，b_n=$\frac{8n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$=$\frac{8n}{4×{3}^{n-1}-4×{3}^{n-2}}$=$\frac{n}{{3}^{n-2}}$，利用“錯位相減法”即可求得數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）由S_n+1=3S_n+2，
當n≥2時，S_n=3S_n-1+2，
則a_n+1=S_n+1-S_n=（3S_n+2）-（3S_n-1+2）=3a_n，
a₂=4，
∴數(shù)列{a_n}是從第二項起以4為首項，3為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1}&{n=1}\\{4•{3}^{n-2}}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1}&{n=1}\\{4•{3}^{n-2}}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）當n≥2時，b_n=$\frac{8n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$=$\frac{8n}{4×{3}^{n-1}-4×{3}^{n-2}}$=$\frac{n}{{3}^{n-2}}$，
當n=1時，b₁=$\frac{8}{{a}_{2}-{a}_{1}}$=$\frac{8}{3}$，
T₁=b₁=$\frac{8}{3}$，
當n≥2時，T_n=$\frac{8}{3}$+$\frac{2}{{3}^{0}}$+$\frac{3}{{3}^{1}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-3}}$+$\frac{n}{{3}^{n-2}}$，
$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{8}{9}$+$\frac{2}{{3}^{1}}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-2}}$+$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{25}{9}$+$\frac{1}{{3}^{0}}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-2}}$-$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
=$\frac{25}{9}$+$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n-1}}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
=$\frac{77}{18}$-$\frac{2n+3}{2×{3}^{n-2}}$，
T_n=$\frac{77}{12}$-$\frac{2n+3}{4×{3}^{n-2}}$（n≥2），
由T₁=b₁=$\frac{8}{3}$，也適合上式，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，T_n=$\frac{77}{12}$-$\frac{2n+3}{4×{3}^{n-2}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式求法，考查“錯位相減法”求數(shù)列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．