Question

已知{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，它的前n項和為S_n，S₄＝2S₂＋8.

(1)求公差d的值；

(2)若a₁＝1，設(shè)T_n是數(shù)列的前n項和，求使不等式T_n≥(m²－5m)對所有的n∈N^*恒成立的最大正整數(shù)m的值；

(3)設(shè)b_n＝若對任意的n∈N^*，都有b_n≤b₄成立，求a₁的取值范圍．

Answer 1

解：(1)設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，

∵S₄＝2S₂＋8，即4a₁＋6d＝2(2a₁＋d)＋8，化簡得：4d＝8，

解得d＝2.

(2)由a₁＝1，d＝2，得a_n＝2n－1，

又∵不等式T_n≥(m²－5m)對所有的n∈N^*恒成立，

∴≥(m²－5m)，

化簡得：m²－5m－6≤0，解得：－1≤m≤6.

∴m的最大正整數(shù)值為6.

(3)由d＝2，得a_n＝a₁＋2n－2，

又∵b_n＝

又函數(shù)f(x)＝1＋上分別是單調(diào)減函數(shù)，

且x<1－時y<1；x>1－時y>1.

∵對任意的n∈N^*，都有b_n≤b₄成立，

∴3<1－<4，

解得－6<a₁<－4，即a₁的取值范圍為(－6，－4)．