Question

如圖，正方形ABCD所在平面與等腰三角形EAD所在平面相交于AD，AE⊥平面CDE．
（I）求證：AB⊥平面ADE；
（II）（理）在線(xiàn)段BE上存在點(diǎn)M，使得直線(xiàn)AM與平面EAD所成角的正弦值為，試確定點(diǎn)M的位置．
（文）若AD=2，求四棱錐E-ABCD的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）要證AB⊥平面ADE，由于CD∥AB，可通過(guò)證明CD⊥平面ADE得出．由已知，AE⊥平面CDE證出AE⊥CD，再由正方形ABCD中AD⊥CD即可證明CD⊥平面ADE．
（II）（理）存在點(diǎn)M，此時(shí)M為BE中點(diǎn)．取AE中點(diǎn)H，連接MH，可以得出MH⊥平面ADE，∠HAM為直線(xiàn)AM與平面EAD所成角的平面角，在直角△HAM中，可以求出sin∠HAM=．
（文）由（I）證得AB⊥平面ADE，從而平面ADE⊥平面ABCD．取AD中點(diǎn)O，連接EO，EO⊥AD，得出EO⊥平面ABCD，EO為E到底面ABCD的距離．分別求出EO，底面ABCD的面積，再代入錐體體積公式計(jì)算．
解答：（I）證明：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，
正方形ABCD中AD⊥CD，
∵AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，
∵CD∥AB，∴AB⊥平面ADE．
（II）解：（理）在線(xiàn)段BE上存在點(diǎn)M，此時(shí)M為BE中點(diǎn)．

取AE中點(diǎn)H，連接MH，則MH是△EBA的中位線(xiàn)，MH∥AB，MH=AB，
由（I）證得AB⊥平面ADE，
∴MH⊥平面ADE，AH為AM在平面ADE內(nèi)的射影，
∴∠HAM為直線(xiàn)AM與平面EAD所成角的平面角．
設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)AD=AB=2，則等腰直角三角形EAD的腰AE=，在直角△HAM中，AH=AE=，MH=AB=1，斜邊AM==，
∴sin∠HAM===．
（文）由（I）證得AB⊥平面ADE，AB?平面ABCD，
∴平面ADE⊥平面ABCD．取AD中點(diǎn)O，連接EO，EO⊥AD，
∴EO⊥平面ABCD，EO為E到底面ABCD的距離．
若AD=2，則等腰直角三角形EAD斜邊中線(xiàn)EO=AD=1，
四棱錐E-ABCD的體積V=EO×S_ABCD==．
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線(xiàn)、平面位置關(guān)系的判斷，線(xiàn)面角大小度量，幾何體體積計(jì)算．考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力．