Question

5．己知數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，前n項(xiàng)和S_n與a_n的關(guān)系是S_n=n（2n-1）a_n，求a_n．

Answer 1

分析 通過S_n=n（2n-1）a_n與S_n+1=（n+1）（2n+1）a_n+1作差、整理可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{2n+3}$，從而$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2n-3}{2n+1}$、$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{2n-5}{2n-1}$、…、$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，累乘計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵S_n=n（2n-1）a_n，
∴S_n+1=（n+1）（2n+1）a_n+1，
兩式相減得：a_n+1=（n+1）（2n+1）a_n+1-n（2n-1）a_n，
整理得：（2n+3）a_n+1=（2n-1）a_n，
整理得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{2n+3}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2n-3}{2n+1}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{2n-5}{2n-1}$，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2n-3}{2n+1}$•$\frac{2n-5}{2n-1}$•…•$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{（2n+1）（2n-1）}$，
又∵a₁=$\frac{1}{3}$，
∴a_n=$\frac{1}{3}$•$\frac{3}{（2n+1）（2n-1）}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n-1）}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．