Question

13．證明：函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$在[0，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

分析 根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)x₁＞x₂≥0，作差證明f（x₁）＞f（x₂），這樣即可得出原函數(shù)在[0，+∞）上單調(diào)遞增．

解答 證：設(shè)x₁＞x₂≥0，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}$；
∵x₁＞x₂≥0；
∴x₁-x₂＞0，$\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 考查增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，分母有理化的方法．