Question

為贏得2010年上海世博會(huì)的制高點(diǎn)，某公司最近進(jìn)行了世博特許產(chǎn)品的市場分析，調(diào)查顯示，該產(chǎn)品每件成本9元，售價(jià)為30元，每天能賣出432件，該公司可以根據(jù)情況可變化價(jià)格x（-30≤x≤54）元出售產(chǎn)品；若降低價(jià)格，則銷售量增加，且每天多賣出的產(chǎn)品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值|x|的平方成正比，已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，每天多賣出24件；若提高價(jià)格，則銷售減少，減少的件數(shù)與提高價(jià)格x成正比，每提價(jià)1元?jiǎng)t每天少賣8件，且僅在提價(jià)銷售時(shí)每件產(chǎn)品被世博管委會(huì)加收1元的管理費(fèi)．
（Ⅰ）試將每天的銷售利潤y表示為價(jià)格變化值x的函數(shù)；
（Ⅱ）試問如何定價(jià)才能使產(chǎn)品銷售利潤最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)“每天多賣出的產(chǎn)品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值|x|的平方成正比”和“商品單價(jià)降低2元時(shí)，每天多賣出24件”，建立降價(jià)多賣產(chǎn)品的模型，再根據(jù)銷售利潤的構(gòu)成，建立利潤函數(shù)模型．當(dāng)提價(jià)x時(shí)，由“銷售減少，減少的件數(shù)與提高價(jià)格x成正比，每提價(jià)1元?jiǎng)t每天少賣8件，”，建立少賣產(chǎn)品的模型，再由銷售利潤的構(gòu)成建立利潤函數(shù)模型，構(gòu)造分段函數(shù)．
（2）根據(jù)（1）按分段函數(shù)求最值來完成，思路是求每一段的最大值，然后從中取最大的作為原函數(shù)的最大值．
解答：解：（1）當(dāng)降價(jià)|x|時(shí)，則多賣產(chǎn)品kx²，由已知得：24=kx²=4k⇒k=6，
所以f（x）=（30+x-9）（432+6x²）=6（x³+21x²+72x+1512）（3分）
當(dāng)提價(jià)x時(shí)，f（x）=（30+x-10）•（432-8x）=-8x²+272x+8640，（2分）
所以（6分）
（2）當(dāng)降價(jià)銷售時(shí)，
f（x）=6（x³+21x²+72x+1512），
f'（x）=18（x²+14x+24）=18（x+12）（x+2）=0⇒x₁=-12，x₂=-2，
所以有
即f（x）在x=-12處取得唯一極大值f（-12）=11664，
∴f（x）_max=11664，（9分）
當(dāng)提價(jià)銷售時(shí)，f（x）=-8x²+272x+8640=-8（x²-34x）+8640=-8[（x-17）²]+10952≤10952＜11664（11分）
所以當(dāng)定價(jià)18元時(shí)，銷售額最大．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的建立和應(yīng)用，主要涉及分段函數(shù)的求法，導(dǎo)數(shù)法，二次函數(shù)法求最值及分類討論思想．