Question

如果直線l：x+y-b=0與曲線C：y=

1-x2

有公共點(diǎn)，那么b的取值范圍是

[-1，

2

]

．

Answer 1

分析：根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，換元得到點(diǎn)M（cosα，sinα）是曲線C上的點(diǎn)，其中0≤α≤π．因此問題轉(zhuǎn)化為方程cosα+sinα-b=0，在區(qū)間[0，α]上有解，利用變量分離并結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可算出實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答：解：對于曲線C：y=

1-x2

，設(shè)x=cosα，則y=

1-cos2α

=sinα（0≤α≤π）
因此點(diǎn)M（cosα，sinα）是曲線C上的點(diǎn)，其中0≤α≤π
∵線l：x+y-b=0與曲線C有公共點(diǎn)
∴方程cosα+sinα-b=0，在區(qū)間[0，α]上有解
即b=cosα+sinα=

2

sin（α+

π

4

）
∵α+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，可得sin（α+

π

4

）∈[-

2

2

，1]
∴b=

2

sin（α+

π

4

）∈[-1，

2

]
即直線l：x+y-b=0與曲線C：y=

1-x2

有公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是[-1，

2

]
故答案為：[-1，

2

]

點(diǎn)評：本題給出直線l與曲線C有公共點(diǎn)，求參數(shù)b的范圍．著重考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)與函數(shù)的值域求法等知識，屬于中檔題．