Question

函數(shù)f（x）=a^x-1+log_ax，（a＞0，a≠1）在區(qū)間

1

，

2

上的最大值和最小值的和為a，則實(shí)數(shù)a的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知可知，函數(shù)y=a^x-1 和y=log_ax有相同的單調(diào)性，通過分0＜a＜1和a＞1兩種情況討論f（x）的單調(diào)性，分別求出其最大（�。┲�，列出關(guān)于a的方程求解．

解答： 解：①當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y=a^x-1 和y=log_ax在[1，2]上都是增函數(shù)，
∴f（x）=a^x-1+log_ax在[1，2]上遞增，
∴f（x）_max+f（x）_min=f（2）+f（1）=a+log_a2+1=a，
∴l(xiāng)og_a2=-1，得a=

1

2

（舍去）；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=a^x-1 和y=log_ax在[1，2]上都是減函數(shù)，
∴f（x）=a^x-1+log_ax在[1，2]上遞減，
∴f（x）_max+f（x）_min=f（2）+f（1）=a+log_a2+1=a，
∴l(xiāng)og_a2=-1，得a=

1

2

，
綜上，a的值為

1

2

，
故答案為：

1

2

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的最值問題，一般利用函數(shù)的單調(diào)性來求；而對(duì)于指對(duì)函數(shù)研究其單調(diào)性時(shí)，要分底數(shù)a＞1或0＜a＜1進(jìn)行討論；同時(shí)本題還要注意根據(jù)a的范圍去掉絕對(duì)值符號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．