Question

18．設(shè)函數(shù)y=$\frac{2{x}^{2}-x+n}{{x}^{2}+x+1}$（x∈R，x≠$\frac{n-2}{3}$，n∈N^*）的最大值和最小值分別為a_n和b_n，且c_n=a_n+b_n+a_nb_n-15，S_n=|c₁|+|c₂|+|c₃|+…+|c_n|=$\left\{\begin{array}{l}{10n-2{n}^{2}，n≤3，n∈N+}\\{2{n}^{2}-10n+24，n≥4，n∈N+}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由y=$\frac{2{x}^{2}-x+n}{{x}^{2}+x+1}$整理成二次方程的形式，運(yùn)用判別式大于等于0，再由韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)c_n=4n-12，求得T_n=c₁+c₂+…+c_n=（2n-10）n，討論n≤3，S_n=-T_n；當(dāng)n＞3，n∈N^*，S_n=T_n-2T₃，計(jì)算即可得到．

解答 解：由y=$\frac{2{x}^{2}-x+n}{{x}^{2}+x+1}$可得
（y-2）x²+（y+1）x+（y-n）=0，
由x≠$\frac{n-2}{3}$可得y≠2，
由△≥0即為（y+1）²-4（y-2）（y-n）≥0，
即有3y²-（10+4n）y+8n-1≤0，
由題意可得a_n和b_n為方程3y²-（10+4n）y+8n-1=0的兩根，
即有a_n+b_n=$\frac{10+4n}{3}$，a_nb_n=$\frac{8n-1}{3}$，
則c_n=a_n+b_n+a_nb_n-15=$\frac{10+4n}{3}$+$\frac{8n-1}{3}$-15=4n-12，
令T_n=c₁+c₂+…+c_n=（2n-10）n，
當(dāng)n≤3，n∈N^*時(shí)，S_n=-T_n=10n-2n²；
當(dāng)n＞3，n∈N^*，S_n=T_n-2T₃=2n²-10n+24．
則S_n=$\left\{\begin{array}{l}{10n-2{n}^{2}，n≤3，n∈N+}\\{2{n}^{2}-10n+24，n≥4，n∈N+}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{10n-2{n}^{2}，n≤3，n∈N+}\\{2{n}^{2}-10n+24，n≥4，n∈N+}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分式函數(shù)的值域的求法：判別式法，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．