Question

9．設不等式-2＜|x-1|-|x+2|＜0的解集為M，a，b∈M．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）比較|1-4ab|與2|a-b|的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡函數(shù)f（x）=|x-1|-|x+2|的解析式，從而求得f（x）＜0的解集M．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a²＜$\frac{1}{4}$，b²＜$\frac{1}{4}$． 化簡|1-4ab|²-4|a-b|²=（4a²-1）（4b²-1）＞0，可得結論．

解答 解：（Ⅰ）記f（x）=|x-1|-|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}3，x≤-2\\-2x-1，-2＜x＜1\\-3，x≥1\end{array}\right.$，
當-2＜x＜1時，由-2＜-2x-1＜0，解得-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$，則M=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a²＜$\frac{1}{4}$，b²＜$\frac{1}{4}$． 
因為|1-4ab|²-4|a-b|²=（1-8ab+16a²b²）-4（a²-2ab+b²） 
=（4a²-1）（4b²-1）＞0，
所以|1-4ab|²＞4|a-b|²，故|1-4ab|＞2|a-b|．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，分段函數(shù)的應用，用比較法證明不等式，屬于中檔題．