Question

13．已知函數(shù)f（x）是定義在（1，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，f′（x）為其導(dǎo)函數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且x^xf′（x）＞e^f（x）恒成立，則當(dāng)m＞n＞0時(shí)，有（　�。�

• A． mf（xⁿ）＞nf（x^m）
• B． mf（xⁿ）＜nf（x^m）
• C． mf（xⁿ）=nf（x^m）
• D． mf（xⁿ）與nf（x^m）大小不確定

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x），根據(jù)已知條件求出g（x）的單調(diào)性，從而判斷出g（x^m）＞g（xⁿ），得出結(jié)論即可．

解答 解：∵x＞1時(shí)，x^xf′（x）＞e^f（x）恒成立，
∴l(xiāng)nxf′（x）-$\frac{1}{x}$f（x）＞0，（x＞1），
令g（x）=$\frac{f（x）}{lnx}$，（x＞1），
則g′（x）=$\frac{f′（x）lnx-\frac{1}{x}f（x）}{{（lnx）}^{2}}$＞0，
g（x）在（1，+∞）遞增，
由m＞n＞0，x＞1得：x^m＞xⁿ＞1，
∴g（x^m）＞g（xⁿ），
∴mf（xⁿ）＜nf（x^m），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)g（x）是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．