Question

14．已知sin（π-α）=$\frac{4}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），cos（$\frac{π}{2}$+β）=-$\frac{3}{5}$，β∈（0，$\frac{π}{2}$），求：
（1）α+β的值；
（2）sin2α+cos2β的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系，以及兩角和的正弦公式，即可求出，
（2）根據(jù)二倍角公式即可求出．

解答 解：（1）sin（π-α）=$\frac{4}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），cos（$\frac{π}{2}$+β）=-$\frac{3}{5}$，β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinα=$\frac{4}{5}$，sinβ=$\frac{3}{5}$，
∴cosα=$\frac{3}{5}$，cosβ=$\frac{4}{5}$，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{4}{5}×\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}$+$\frac{3}{5}$=1，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴α+β∈（0，π），
∴α+β=$\frac{π}{2}$，
（2）由（1）知sinα=$\frac{4}{5}$，sinβ=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，cosβ=$\frac{4}{5}$，
∴sin2α+cos2β=2sinαcosα+2cos²β-1=2×$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{16}{25}$-1=$\frac{31}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系，以及二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題．